コンデンサー

 

 

導体Aに電池の+極、導体Bに電池のー極をつなぐと、導体Aは正に帯電し、導体Bは負に帯電します。

導体Aと電池の+極を領域Aとしますと、領域Aの中で正電荷が押し合いへし合いをして、その結果、導体Aに正電荷が現れます。押し合いへし合いは領域Aが等電位になるまで続き、等電位になったところで電荷の動きは止まります(一種のパスカルの原理)。一方、導体Bと電池のー極を領域Bとしますと、領域Bでも同様のことが起こり、導体Bに負電荷が現れます。

次に、導体Aと導体Bを近づけると、それぞれの正電荷と負電荷が引きつけ合い、導体内に余白が生まれ、押し合いへし合いの末、余白に正電荷あるいは負電荷が割り込んで来ます。

つまり、導体Aと導体Bを近づけると、そこに貯まる電荷が増えるのです。

なるべく多くの電荷を貯めたい場合は、導体の形を板状にして、大きくして、近づけるといいです。

このように電荷を貯めることができる装置をコンデンサーといいます。貯めるための導体を極板といいます。そして極板が平行なとき、これを平行板コンデンサーといいます。

一度コンデンサーに貯まった電荷は、電池を切り離しても、そのまま留まります。正電荷と負電荷がお互いに引きつけ合っているからです。


電気容量

蓄えられた電気量

コンデンサーの片方の極板に +Q [C] 、もう片方の極板に -Q [C] の電気量が帯電しているとき、このコンデンサーには Q [C] の電気量が蓄えられている、と定義します。(決して、合計で 0 になるなどと考えたり、絶対値を合計して 2Q になるなどと考えたりしません)

この、コンデンサーに蓄えられた電気量 Q [C] と、コンデンサーの極板間の電位差(電圧)V [V] の関係を探ってみます。

電気力線の本数

極板間の電場の強さを E [V/m] とし、1m2当たりの電気力線の本数を E 本とします。(普通、電気力線の密度は電場の強さと数値が同じになるように設定します。)

すると、Q [C] の電荷が蓄えられたコンデンサーの極板間の電気力線の総数は、ガウスの法則より、4πkQ本です。これは正極板から湧き出す電気力線がすべて負極板に向かうとみなしたときの考え方です。

電気力線を求める考え方は、もう一つあります。

+Q [C] の電荷を蓄えた正極板からは、上にも下にも電気力線が湧き出ていて、その総数が 4πkQ 本であり、上へ 2πkQ 本、下へ 2πkQ 本湧き出しています。-Q [C] の電荷を蓄えた負極板は、上からも下からも電気力線を吸い込んでいて、その総数が 4πkQ 本であり、上から 2πkQ 本、下から 2πkQ 本吸い込んでいます。

正極板の上側は、それぞれの電気力線の方向が逆なので打ち消し合います。負極板の下側も、同様に打ち消し合います。残るのは極板間の電気力線だけで、それぞれの電気力線の方向が同じなので、電気力線の総数は 2πkQ 本の倍の 4πkQ 本となります。

このように、考え方には二通りあります。結果は同じですので、どちらの考え方でも構いません。

電気力線の本数のもう一つの表現方法

電気力線の本数に関しては、もう一つの表現方法があります。

コンデンサーの極板の形は正極板も負極板も同じで、面積が S [m2] であるとします。そうしますと、今、1 m2当たりの電気力線の本数を E 本と決めているので、この極板から出る電気力線の本数は S×E = ES 本です。

つまり、このコンデンサーの極板間の電気力線の本数は 4πkQ 本であり、ES 本です。

4πkQ = ES  ……①

回りくどい話になってしまって分かりにくいかもしれませんが、静電気の分野においては、このように架空の電気力線をイメージしながら物理量の関係式を導き出したりします。電荷から発生する静電気力の影響力というものは、正電荷から負電荷(負電荷が無い場合は無限遠の彼方)を結ぶ線、電気力線を仮定して、それをどのようにくるむか(ガウスの法則)、くるんだ領域の中に何本の電気力線があるか、ということを考えていきます。

電気量と電位差の関係

①式によって電気量 Q と電場 E の関係が分かりました。あとは電場 E と電位差 V との関係が分かれば、電気量 Q と電位差 V の関係が分かります。

平行板コンデンサーの極板間の電場は、あきらかに「一様」です。電気力線はまっすぐだし、等間隔です。となりますと、極板間の距離を d [m] としたとき、

V = Ed

が成り立ちます。変形しますと、

E = Vd

">VdVd  ……②

②式を①式に代入しますと、

4πkQ = Vd

">VdVdS

∴  4πkQ = Sd

">SdSdV

∴  Q = 14πkSd

">14πkSd14πkSdV  ……③

これで電気量 Q と電位差 V の関係が導き出せました。

電気容量

③式の 14πkSd

">14πkSd14πkSd の部分は定数です。k はクーロンの法則の比例定数ですし、S はコンデンサーの極板の面積ですし、d は極板間の距離です。この定数の部分には意味があって、これを電気容量(静電容量、キャパシタンス)と呼びます。量記号には C を用います。

電気容量 C

Q = CV

単位は [F] ファラド です。上式より [C] = [F]×[V] ですので [V] = [C/F] でもあります。この [F] はちょっと大きすぎる単位で、実際には [μF] マイクロファラド や [pF] ピコファラド がよく用いられます。

上式より、コンデンサーに蓄えられる電気量 Q は、電気容量 C と極板間の電位差 V に比例します。電位差が同じであれば電気容量が大きいほど多くの電気量が貯められます。電気容量はコンデンサーの電荷の貯めやすさを表している、といえます。

さらに、

C = 14πkSd

">14πkSd14πkSd

とおきましたので、電気容量 C は極板の面積 S に比例し、極板間 d に反比例する、といえます。コンデンサーは、極板が大きいほど、また、極板間が小さいほど電荷がたくさん貯まるということです。

さらに、 14πk

">14πk14πk を ε とおくと、

C = ε Sd

">SdSd

となります。ε を誘電率といいます。

話の流れ

上の①式からの流れをまとめてみます。

4πkQ = ES  ……①

E = Vd

">VdVd  ……②

Q = 14πk⏟εSd⏟C

">14πkεSdC14πk⏟εSd⏟CV  ……③

 

 

複数のコンデンサーをつなげる

 

複数のコンデンサーをつなげるとき、つなげ方によってコンデンサーの性能が上がるのか下がるのか考えてみます。

コンデンサーの並列接続

 

左図のように、電気容量が C1 [F] と C2 [F] のコンデンサーを並列につなぎ、それを電圧 V [V] の電池につないで2つのコンデンサーを充電します。

充電は左図のAの領域が等電位、Bの領域が等電位になるまで続きます。充電が終わると2つのコンデンサーのそれぞれの電圧は V になります。

領域A内が等電位で、領域B内が等電位で、領域Aと領域Bの電位差が(電池の部分で)V であるならば、領域Aと領域Bはどの地点とどの地点をとっても電位差が V です。

それぞれのコンデンサーに蓄えられる電荷を Q1 [C] 、Q2 [C] とすると、

    Q1 = C1V
    Q2 = C2V

となります。そうしますと2つのコンデンサーの全体の電荷 Q [C] は、

    Q = Q1 + Q2 = C1V + C2V = (C1 + C2)V

となります。(C1 + C2) は2つのコンデンサーを1つの大きなコンデンサーと考えたときの電気容量とみなすことができます。この電気容量を合成容量といいます。これを C [F] とおきますと、

並列接続の合成容量

 C = C1 + C2

となります。これは3つ以上のときでも成り立ちます。

この法則からいえることは、複数のコンデンサーを並列に接続するということは、コンデンサーの極板の面積を大きくすることと同じであるということです。

C1 のコンデンサーの極板の面積を S1 、C2 のコンデンサーの極板の面積を S2 とし、どちらのコンデンサーも誘電率が ε 、極板間が d で同じとしますと、

    C1 = εS1dS1d

    C2 = εS2dS2d

ですので、上の法則より、

    C = C1 + C2 = εS1dS1d + εS2dS2d = ε(S1+S2)d(S1+S2)d

となり、誘電率と極板間の大きさが共通しているコンデンサーの並列接続は、単に極板面積を広げた (S1+S2) のと同等、といえます。

コンデンサーの直列接続

 

左図のように、電気容量が C1 [F] と C2 [F] の未充電のコンデンサーを直列につなぎ、それを電圧 V [V] の電池につないで2つのコンデンサーを充電します。

すると C1 のコンデンサーの正極板にたどりついた正電荷は対面の極板の負電荷をおびき寄せます。静電誘導ですC2 のコンデンサーの負極板にたどりついた負電荷は対面の極板の正電荷をおびき寄せます。

充電は左図のAの領域が等電位、Bの領域が等電位になるまで続きます。等電位になったときの C1 のコンデンサーの正極板に溜まった電荷を +Q [C] とすると、その負極板には -Q [C] の電荷、C2 のコンデンサーの正極板には +Q [C] 、負極板には -Q [C] の電荷が溜まります。

充電が終わったとき、領域A内は等電位で、領域B内も等電位で、領域Aと領域Bはどの地点とどの地点をとっても電位差が V です。

このときの C1 のコンデンサーの極板間の電位差を V1 [V]、C2 のコンデンサーの極板間の電位差を V2 [V] としますと、

    V1 = QC1QC1

    V2 = QC2QC2

であり、 V = V1 + V2 であるので、

    V = V1 + V2 = QC1QC1 + QC2QC2 = (1C11C1 + 1C21C2)Q

となります。そして、2つのコンデンサーを1つの大きなコンデンサーとみなしたときの合成容量を C [F] とすれば、

    V = 1C1CQ

ですので、上式と見比べると、

    1C1C = (1C11C1 + 1C21C2)

となっています。

直列接続の合成容量

 1C1C = 1C11C1 + 1C21C2

これは3つ以上のときでも成り立ちます。

この法則からいえることは、複数のコンデンサーを直列に接続するということは、コンデンサーの極板間を大きくすることと同じということです。

C1 のコンデンサーの極板間の大きさを d1 、C2 のコンデンサーの極板間の大きさを d2 とし、どちらのコンデンサーも誘電率が ε 、極板の面積が S で同じとしますと、

    C1 = εS d1S d1

    C2 = εS d2S d2

ですので、上の法則より、

    1C1C = 1C11C1 + 1C21C2 =  d1εS d1εS +  d2εS d2εS = (d1+d2)εS(d1+d2)εS

 ∴  C = εS(d1+d2)εS(d1+d2) = εS(d1+d2)S(d1+d2)

となり、誘電率と極板の面積が共通しているコンデンサーの直列接続は、単に極板間を大きくした (d1+d2) のと同等、といえます。

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